Cables.
Por su combinación única de resistencia, poco peso y flexibilidad, las cuerdas y cables se utilizan a menudo para soportar cargas y transmitir fuerzas en estructuras, máquinas y vehículos.
Cables bajo cargas distribuidas.
Los cables flexibles se usan en numerosas aplicaciones de la ingeniería. Ejemplos comunes son las líneas de transmisión de energía eléctrica y los puentes colgantes. El término flexible significa que los cables son capaces de desarrollar fuerzas internas que no sean tensiones.
Cables con cargas uniformemente distribuidas a lo largo de la horizontal.
El cable principal de un puente colgante es el ejemplo clásico de un cable sometido a una carga uniformemente distribuida a lo largo de una línea recta. El peso del puente está (de manera aproximada) uniformemente distribuido en la horizontal. La carga trasmitida al cable principal por el gran número de cables verticales se puede representar como una carga distribuida.
Se ignora el peso del cable. El
origen del sistema coordenado esta en el punto más bajo del cable. Sea la
función y(x) la
curva descrita por el cable en el plano x-y. El objetivo es determinar la curva y(x), la tensión del cable y la longitud.
- Curva y(x) o forma del cable.
Se obtiene un diagrama de cuerpo libre cortando el cable en su punto más bajo y en posición arbitraria x.
Se obtiene un diagrama de cuerpo libre cortando el cable en su punto más bajo y en posición arbitraria x.
El termino 
es la tensión en el punto más bajo del cable, y T es la tensión en x. La fuerza hacia abajo ejercida por la carga distribuida es wx. De este diagrama de cuerpo libre se obtiene las ecuaciones de equilibrio:
es la tensión en el punto más bajo del cable, y T es la tensión en x. La fuerza hacia abajo ejercida por la carga distribuida es wx. De este diagrama de cuerpo libre se obtiene las ecuaciones de equilibrio:
(1)
(2)
Se elimina la tensión T dividiendo la ecuación (2) entre la (1), para obtener:
(3)
donde
(4)
La pendiente del cable en x es dy/dx=
, por lo que se obtiene una ecuación diferencial que define la curva descrita por el cable:
, por lo que se obtiene una ecuación diferencial que define la curva descrita por el cable:
(5)
(6)
se encuentra que la curva descrita por el cable es la parábola
(7)
- Tensión del cable.
Para determinar la distribución de la tensión en el cable, se elevan al cuadrado ambos lados de las ecuaciones (1), (2) y se suman para obtener
(8)
La tensión des mínima en el punto más bajo del cable y crece en forma monótona con su distancia al punto más bajo.
- Longitud del cable.
Se tiene la relación 
, donde ds es un elemento de longitud del cable
, donde ds es un elemento de longitud del cable
en la forma
(9)
Sustituyendo en la ecuación (5) en esta expresión e integrando, se obtiene una ecuación para la longitud s del cable en el intervalo horizontal 0 a x:
(10)Cables parabólicos.
Cuando un cable está sometido a una carga uniforme por unidad de proyección horizontal, dicho cable adquiere la forma de una parábola si se desprecia su peso propio respecto al de la carga que debe soportar. Este caso se presenta, en la práctica, en el cálculo de puentes colgantes, en los que el peso del tablero es mucho mayor que el del cable que lo sustenta.
El tablero, o base del puente colgante, lo podemos representar por una carga vertical, p (N/m), uniformemente distribuida a lo largo de la proyección horizontal del cable. La transmisión de carga del tablero al cable se realiza mediante unos cables verticales denominados tirantes, también de peso despreciable frente al del tablero.
Cables con cargas uniformemente distribuidos a lo largo de su longitud.
El peso de un cable lo somete a una carga uniformemente distribuida en toda su longitud. Si un cable se somete a fuerzas iguales y paralelas espaciadas uniformemente, la carga sobre el cable suele representarse uniformemente distribuida en toda su longitud.
Ejemplo: Suponemos que sobre un cable actúa una carga distribuida que somete cada elemento ds de su longitud a una fuerza wds, donde w es constante.
Este diagrama de cuerpo libre se obtiene al cortar el cable en su punto más bajo y en un punto a una distancia s. Los términos 
y T son las tensiones en el punto mas bajo y en s, respectivamente. La carga distribuida ejerce una fuerza ws hacia abajo. El origen del sistema de coordenadas se encuentra en el punto más bajo del cable. Sea la función y(x) la curva descrita por el cable en el plano x-y. El objetivo es determinar y(x), T y s.
y T son las tensiones en el punto mas bajo y en s, respectivamente. La carga distribuida ejerce una fuerza ws hacia abajo. El origen del sistema de coordenadas se encuentra en el punto más bajo del cable. Sea la función y(x) la curva descrita por el cable en el plano x-y. El objetivo es determinar y(x), T y s.
- Forma del cable (y(x)).
A partir del diagrama de cuerpo libre de la figura anterior, se obtienen las ecuaciones de equilibrio
A partir del diagrama de cuerpo libre de la figura anterior, se obtienen las ecuaciones de equilibrio
(2)
Dividiendo estas ecuaciones se obtiene
(3)
donde
(4)
La pendiente del cable dy/dx=
, por lo que la ecuación (3) puede escribirse como
, por lo que la ecuación (3) puede escribirse como
La derivada de esta ecuación con respecto a x es
(5)
Usando la relación 
se puede escribir la derivada de s con respecto a x como
se puede escribir la derivada de s con respecto a x como
(6)
donde
es la pendiente. Ahora, con la ecuación (6) se escribe la ecuación (5) como
La pendiente es 
en x=0. Integrando esta ecuación, se obtiene
en x=0. Integrando esta ecuación, se obtiene
se determina la pendiente en función de x:
(7)
Luego, integrando esta ecuación con respecto a x, se obtiene la curva descrita por el cable, que se denomina catenaria:
(8)
- Tensión del cable.
Usando la ecuación (2) y la relación 
, se obtiene
, se obtiene 
Sustituyendo la ecuación (6) En esta expresión y utilizando la ecuación (7) se obtiene la tensión en el cable en función de x:
- Longitud del cable.
De la ecuación (3), la longitud s del cable, desde el origen hasta el punto donde el ángulo entre el cable y el eje 
x es igual a 
, se determina mediante
s del cable, desde el origen hasta el punto donde el ángulo entre el cable y el eje x es igual a 
, se determina mediante
Sustituyendo la ecuación (7) en esta ecuación, se obtiene una expresión para la longitud s del cable en el intervalo horizontal desde su punto más bajo hasta x:
Cables en forma catenaria
Una catenaria es una curva ideal que representa físicamente la curva generada por un cable, cadena, o hilo, sin rigidez flexional, suspendida de sus dos extremos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. En matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta un cable, cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme.
Cables bajo cargas concentradas.
En ocasiones se requiere que un cable soporte varias cargas verticales concentradas, como se muestra en esta primera figura:
Si el peso del cable es despreciable comparado con las cargas aplicadas, entonces cada segmento del cable es un miembro de dos fuerzas y la forma del cable consiste en una seria de líneas rectas. El análisis de un cable cargado de esta manera es similar al de una armadura, excepto que con cables, a veces se desconocen las localizaciones de los nodos (es decir, los puntos en que las cargas están aplicadas). Como en el análisis de las armaduras, se puede usar el método de los nodos y/o el método de las secciones para determinar las ecuaciones de equilibrio. Sin embargo, es necesario a menudo incluir ecuaciones de restricciones geométricas para tener suficientes ecuaciones que nos permitan hallar todas las incógnitas.
Ejemplo: Si un cable tiene n segmentos, entonces hay (n-1) nodos. En el cable de la figura anterior se tiene que n=3 segmentos y (n-1)=2 nodos, marcados 1 y 2. Se usara la siguiente notación:
es la longitud del segmento; 
es la separación horizontal de las cargas, y 
es el ángulo entre el segmento y la horizontal, donde 
es el número del segmento. La posición vertical del nodo i-ésimo, medido hacia abajo desde el extremo B, se denota por 
En esta segunda figura
se muestra los diagramas de cuerpo libre para los nodos 1,2, y un nodo arbitrario i, 
El análisis del equilibrio de un cable con n segmentos implica calcular la fuerza 
y el ángulo de pendiente 
de cada segmento del cable. Como el diagrama de cuerpo libre de cada nodo nos da dos ecuaciones de equilibrio, el número total de ecuaciones de equilibrio independientes para un cable con n segmentos es 2(n-1). Las ecuaciones de equilibrio para el nodo i de la figura anterior son
El análisis del equilibrio de un cable con n segmentos implica calcular la fuerza 
y el ángulo de pendiente 
de cada segmento del cable. Como el diagrama de cuerpo libre de cada nodo nos da dos ecuaciones de equilibrio, el número total de ecuaciones de equilibrio independientes para un cable con n segmentos es 2(n-1). Las ecuaciones de equilibrio para el nodo i de la figura anterior son
(a)
(b)
. En la ecuación (a) se observa que la componente horizontal 
es la misma para cada segmento. Designando esta componente como 
, se puede remplazar la ecuación (a) por
(1)
(2)
. Por lo tanto, se puede obtener dos ecuaciones independientes adicionales antes de poder calcular todas las incógnitas.La fuente de las ecuaciones adicionales depende de principalmente de la naturaleza del problema. Es conveniente dividir los problemas en dos categorías, dependiendo de si se cuenta con la separación horizontal de las cargas
o las longitudes de los segmentos del cable 
, y analizar cada categoría por separado [supongamos que se conocen las posiciones relativas de los soportes, es decir h y L de la primera figura].- Las separaciones horizontales entre las cargas están dadas por la relación geométrica de la primera figura:
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